Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）若AE=1時，求AP的長；

（2）當∠BQD=30°時，求AP的長；

（3）在運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發生變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）2；（3）DE=3，不變.

【解析】試題分析：（1）由△APF是等邊三角形，PE⊥AF，得到∠APE=30°，由30°所對直角邊等于斜邊的一半，得到結論；

（2）過P作PF∥QC，則△AFP是等邊三角形，可得到△DBQ≌△DFP，得到∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，得到BD=DF=FA，從而得到結論；

（3）由（2）得到BD=DF，得到DE+DF+EF=AB=6，從而得到DE=3，為定值．

試題解析：解：（1）∵△APF是等邊三角形，∴∠A=60°．∵PE⊥AF，∴∠APE=30°．

∵AE=1，∠APE=30°，PE⊥AF，∴AP=2AE=2；

（2）過作PF∥QC，則△AFP是等邊三角形，

∵同時出發，速度相同，即，

∴，∴，∴，

∵

∴

（3）由（2）知，而是等邊三角形， ．

∵ ∴

即為定值，即的長不變．