Question

【題目】如圖1，已知在長方形ABCD中， AD=8， AB=4，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在 處， 交AD于點E.

（1）求證：△BED是等腰三角形．
（2）求DE的長．
（3）如圖2，若點P是BD上一動點， 于點N， 于點M，問： PN+PM的長是否為定值？如果是，請求出該值，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由翻折知，∠1=∠2 ，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠2 ，

∴∠1=∠3，

∴BE=DE，

即△BED是等腰三角形

（2）解：設DE=x,則AE=8-x，BE=x,

在Rt△ABE中，

解之， x=5, ∴ DE=5

（3）解：PM+PN為定值，是4 ,

延長MP，交BC于點H,

∵AD∥BC，PM ,

∴PH⊥BC,

∵∠1=∠2， PN ,PH⊥BC,

∴PN=PH ,

∴ PM+PN=MN=AB=4

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠1=∠2 ，由AD∥BC，得到內(nèi)錯角相等得到∠3=∠2 ，即∠1=∠3，根據(jù)等角對等邊得到BE=DE， 即△BED是等腰三角形；（2）在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出DE的長；（3）根據(jù)題意作出輔助線，得到PH⊥BC，再由∠1=∠2，得到PN=PH ，得到PM+PN=MN=AB的值.