Question

如圖，直線y=-

3

4

x經過拋物線y=ax²+8ax-3的頂點M，點P（x，y）是拋物線上的動點，點Q是拋物線對稱軸上的動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當PQ∥OM時，設線段PQ的長為d，求d關于x的函數解析式；
（3）當以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求P、Q兩點的坐標．

Answer 1

分析：（1）拋物線y=ax²+8ax-3的頂點可以用a表示出來，把這個點的坐標代入直線的解析式就可以求出a的值．得到二次函數的解析式．
（2）求出直線OM的解析式．設P的坐標是（x，-

3

8

x²-3x-3），根據直線斜率的含義即可求得PQ的長．
（3）線段OM的長度可以求出，進而求出OM的解析式，便可解決．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+8ax-3的頂點是（-4，-16a-3），代入y=-

3

4

x，
得到-16a-3=3，
解得a=-

3

8

因而函數是y=-

3

8

x²-3x-3

（2）∵a=-

3

8

，∴-16a-3=3，
∴拋物線y=-

3

8

x²-3x-3的頂點坐標是（-4，3），
設直線OM的解析式是y=kx，把x=-4，y=3代入得3=-4k，
解得k=-

3

4

，
點P（x，y）即（x，-

3

8

x²-3x-3），
作PE⊥MQ于點E．則PE=x+4或-4-x．
∵PQ∥OM，
∴

EQ

PE

=

3

4

∴

PE

PQ

=

4

5

，
∴d=-

5

4

x-5或d=

5

4

x+5；

（3）如圖P₁，Q₁時MP₁=OQ₁=3，直接得出點的坐標：
P₁（0，-3），Q1（-4，0）；
當MP₂=OQ₂=3時，直接得出點的坐標：P₂（0，-3），Q₂（-4，6）；
∵MO=5，
∵根據點到直線的距離公式得到d=

5

4

x±5，
∴x=-8時，d=5，
∴P點的橫坐標為-8，代入二次函數解析式求出縱坐標即可，
∴P（-8，-3），Q（-4，-6）；
故答案為：P₁（0，-3），Q₁（-4，0）；P₂（0，-3），Q₂（-4，6）；P（-8，-3），Q（-4，-6）．

點評：本題考查了二次函數頂點坐標的求解方法，點到直線的線段的距離公式．