Question

【題目】“綜合與實踐”是以問題為中心，以活動為平臺，以解決某一實際的數學問題為目標，綜合應用知識和方法解決問題，它是對數學知識的延伸和發展，是對理解、運用數學基礎知識和基本技能的升華過程．請同學們運用你所學的數學知識來研究和解決以下問題吧．

（1）探究：已知是平面上一個運動的點，若，，則當點位于 時，線段的長最小，最小值為 ；若，，則當點位于 時，線段的長最小，最小值為 ；

（2）應用：已知是一運動的點，，，如圖①所示，分別以為邊作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，連接和．

①在圖中找出與相等的線段，并說明理由；

②何時線段可以取得最小值？請直接寫出線段的最小值；

（3）拓展：如圖②，在矩形中，，，為矩形對角線的交點，為邊上任意一點，連接并延長與邊交于點，現將圖中與分別沿與翻折，使點與點分別落在矩形內的點，處，連接，則的長有最小值嗎？若有，請直接寫出的長的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）線段上，2；線段的延長線上，2；（2）①，理由見詳解；②當點C在AB上時，AE的值最小，最小值為；（3）有最小值，最小值為．

【解析】

（1）由題意可知，當點位于線段上時有最小值，根據AB和PA的長確定點P是在線段上還是在的延長線上即可；

（2）①證明全等即可找出與AD相等的線段；

②由（1）的結論，舉一反三，即可找出AE取最小值的情況，再計算即可；

（3）根據前兩問的啟發，找到取最小值的情況，再推理計算即可．

（1）由題意可得，當，時，當點位于線段上時，線段的長最小，最小值為2；

當，時，當點位于線段的延長線上時，線段的長最小，最小值為2；

（2）①

理由：和是等腰直角三角形，

，

；

②當點C在AB上時，AE的值最小，

此時C，D，E三點共線，CE⊥AB，

∴在Rt△ACE中，，

∵AB=3，AC=1，

∴BC=2，

∵，

∴CE=2，

∴，

∴最小值為；

（3）有最小值，

如圖，要使最小，只有點，落在矩形對角線BD上，

矩形的對角線，

由對折可得=BA=4，

∴=BD-=-4，

∵四邊形ABCD是矩形，且點，落在矩形對角線BD上，

∴根據翻折的性質和矩形的性質可得，=，∠=∠，∠EDB=∠FBD，

∴△≌△（AAS），

∴=，

∴=BD--=-2（-4）=，

∴長的最小值為．