Question

【題目】已知等邊△ABC的邊長為4cm，點P，Q分別是直線AB，BC上的動點．

（1）如圖1，當點P從頂點A沿AB向B點運動，點Q同時從頂點B沿BC向C點運動，它們的速度都為lcm/s，到達終點時停止運動．設它們的運動時間為t秒，連接AQ，PQ．

①當t＝2時，求∠AQP的度數．

②當t為何值時△PBQ是直角三角形？

（2）如圖2，當點P在BA的延長線上，Q在BC上，若PQ＝PC，請判斷AP，CQ和AC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠AQP＝30°；②當t＝秒或t＝秒時，△PBQ為直角三角形；（2）AC＝AP+CQ，理由見解析.

【解析】

（1）①由△ABC是等邊三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，從而得∠AQB＝90°，△BPQ是等邊三角形，據此知∠BQP＝60°，繼而得出答案；

②由題意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況分別求解可得．

（2）過點Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等邊三角形，證∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，從而利用AAS可證△PQF≌△CPA，得AP＝QF，據此知AP＝BQ，根據BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．

解:（1）①根據題意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AQ⊥BC，∠B＝60°，

∴∠AQB＝90°，△BPQ是等邊三角形，

∴∠BQP＝60°，

∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；

②由題意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，

當∠PQB＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝；

當∠BPQ＝90°時，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝；

∴當t＝秒或t＝秒時，△PBQ為直角三角形；

（2）AC＝AP+CQ，理由如下：

如圖所示，過點Q作QF∥AC，交AB于F，

則△BQF是等邊三角形，

∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，

∴∠QFP＝∠PAC＝120°，

∵PQ＝PC，

∴∠QCP＝∠PQC，

∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，

∴∠BPQ＝∠ACP，

在△PQF和△CPA中，

∵

∴△PQF≌△CPA（AAS），

∴AP＝QF，

∴AP＝BQ，

∴BQ+CQ＝BC＝AC，

∴AP+CQ＝AC．