Question

如圖，已知等邊三角形ABC,以邊BC為直徑的半圓與邊AB、AC分別交于點D、點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．

（1）判斷EF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H，若等邊△ABC的邊長為8，求FH的長．（結果保留根號）

Answer 1

(1)EF是⊙O的切線 (2) FH=BFsin60°=

試題分析：.
解：(1)EF是⊙O的切線.  
連接OE
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，

∵OE＝OC，
∴△OCE是等邊三角形，
∴∠EOC＝∠B＝60°，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切線.
(2)∵OE∥AB，
∴OE是中位線.
∵AC＝8，
∴AE＝CE＝4.
∵∠A＝60°，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝2.  
∴BF＝6.
∵FH⊥BC，∠B＝60°，∴FH=BFsin60°=
點評：通過切線的判定定理來證明直線與圓相切，是證明此類問題的首選.