Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）若∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論；

（3）在（2）的情況下，點M在AC線段上移動，請直接回答，當點M移動到什么位置時，MB+MD有最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ADCF是菱形，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；

（2）根據全等三角形的性質得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據直角三角形的性質得到AD=DC，證明四邊形ADCF是菱形；

（3）根據菱形的性質得到點D與點F關于直線AC對稱，根據軸對稱的性質作圖即可．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB；

（2）解：四邊形ADCF是菱形，

理由如下：∵△AEF≌△DEB，

∴AF=BD，

∵BD=DC，

∴AF=DC，又AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，

∴AD=DC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（3）連接BF交AC于M，

則點M即為所求，

∵四邊形ADCF是菱形，

∴點D與點F關于直線AC對稱，

∴MD=MF，

∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．