Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線，E是CD的中點，過點C作AB的平行線交AE的延長線于點F，連接BF．

（1）求證：四邊形BDCF是菱形；

（2）當Rt△ABC中的邊或角滿足什么條件時？四邊形BDCF是正方形，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當AC＝BC時，四邊形BDCF是正方形，理由見解析.

【解析】

（1）由“AAS”可證△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性質可得CD＝AD＝BD＝CF，由菱形的判定可證四邊形BDCF是菱形；

（2）由等腰三角形的性質可得CD⊥AB，即可證四邊形BDCF是正方形．

（1）∵CF∥AB

∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE

∴△CEF≌△DEA（AAS）

∴CF＝AD，

∵CD是Rt△ABC的中線

∴CD＝AD＝BD

∴CF＝BD，且CF∥AB

∴四邊形BDCF是平行四邊形，且CD＝BD

∴四邊形BDCF是菱形

（2）當AC＝BC時，四邊形BDCF是正方形，

理由如下：∵AC＝BC，CD是中線

∴CD⊥AB，且四邊形BDCF是菱形

∴四邊形BDCF是正方形．