Question

（2011•錦江區模擬）如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向通道，上下底之間有兩條縱向通道，各通道的寬度相等．設通道的寬為x米．
（1）用含x的式子表示橫向通道的面積；
（2）當三條通道的面積是梯形面積的八分之一時，求通道的寬；
（3）根據設計的要求，通道的寬不能超過8米．如果修建通道的總費用（萬元）與通道的寬度成正比例關系，比例系數是5.5，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當通道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）甬道的形狀是梯形，所以根據梯形面積公式即可求解；
（2）用含x的代數式表示出三條甬道的總面積，然后求出梯形的總面積，根據三條通道的面積是梯形面積的八分之一列方程求解，在求解過程中要注意三條甬道有重合部分；
（3）表示出修建花壇的總費用與甬道的寬度之間的函數關系式，轉化成函數的最值問題進行求解即可．

解答：解：（1）橫向甬道的面積為：（120+180）÷2×x=150x（m²）；

（2）依題意：2×80×x+150x-2x²=

1

8

×（120+180）÷2×80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合題意，舍去），
故甬道的寬為5米；

（3）設建設花壇的總費用為y萬元．
則y=0.02×[（120+180）÷2×80-（-2x²+310x）]+5.5x，
=0.04x²-0.7x+240，
當x=-

b

2a

=8.75時，y的值最小．
∵根據設計的要求，甬道的寬不能超過8米，
∴當x=8米時，總費用最少．
即最少費用為：0.04×8²-0.7×8+240=239.96萬元．

點評：考查二次函數的應用；得到甬道的總面積是解決本題的易錯點．注意兩個梯形的中位線是同一條．