Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，點I是△ABC的內心，點O在邊BC上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓恰好經過點I，連接CI，BI．

（1）求證：CI是⊙O的切線；

（2）若AC=BC=5，AB=6，求BI的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）設∠ICB=x，∠IBC=y，得：2x+2y+2y=180°，則x+2y=90°，再證明∠IOC+∠ICO=2y+x=90°，可得∠OIC=90°，則CI是⊙O的切線；

（2）延長CI交AB于D，先計算∠CDA=90°，得CD=4，證明△OIC∽△BDC，列比例式，設⊙O的半徑為r，得r的值，由，計算DI的值，根據勾股定理可得結論．

（1）證明：連接OI，
∵點I是△ABC的內心，
∴BI、CI分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
設∠ICB=x，∠IBC=y，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠A=2y，∠ACB=2x，
∴2x+2y+2y=180°，
∴x+2y=90°，
∵OB=OI，
∴∠OIB=∠OBI，
∴∠ABI=∠OIB，
∴OI∥AB，
∴∠IOC=∠ABC=2y，
∴∠IOC+∠ICO=2y+x=90°，
∴∠OIC=90°，
∴CI是⊙O的切線；

（2）解：延長CI交AB于D，
∵∠ACD+∠A=x+2y=90°，
∴∠CDA=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=5，AB=6，
∴AD=BD=3，
∴CD=4，
∵OI∥AB，
∴△OIC∽△BDC，
∴，
設⊙O的半徑為r，
∴，∴r=，
∵OI∥BD，∴，
∴，∴DI=，
由勾股定理得：BI==．