Question

（滿分13分）如圖12.1，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E(4,0)，頂點M的坐標為 (m,4)，直角梯形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且BC=1，AD=2，AB=3.

（1）求m的值及該拋物線的函數關系式；

（2）將直角梯形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖12.1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向點B勻速移動，設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3)，直線AB與該拋物線的交點為N(如圖12.2所示).

① 當t為何值時，△PNC是以PN為底邊的等腰三角形 ；

② 設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）由已知，根據拋物線的軸對稱性，得m=2，

        ∴ 頂點M的坐標為(2,4)，                         ………………(1分)

故可設其關系式為y=a(x-2)²+4.

又拋物線經過O(0,0)，于是得a(0-2)²+4=0，解得 a=-1.  ………(3分)

∴ 所求函數關系式為y=-(x-2)²+4，即y=-x²+4x.             ………(4分)

（2）① ∵ 點A在x軸的正半軸上，且N在拋物線上，CB⊥PN,

∴ OA=AP=t，

∴ 點P，B，N的坐標分別為(t,t)，(t,3)，(t, -t²+4t).

∴ BP=3-t，AN= -t²+4t（0≤t≤3）.

∴ PN=AN-AP=(-t²+4t)-t=-t²+3t=t(3-t)≥0.                 ………(6分)

要使得△PNC是以PN為底邊的等腰三角形，

只需PN=2BP，即-t²+3t=2(3-t)，

整理，得t²-5t+6=0，解得 t₁=2，t₂=3.

當t=3時，P，N兩點重合，不符合題意，舍去.

        ∴ 當t=2時，△PNC是以PN為底邊的等腰三角形.         ………(8分)

② S存在最大值.                                          ………(9分)

（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形.

          若t=0，則S=AD·AB=·3·2=3.

若t=3，則S=BC·AB=·1·3=.

（ⅱ）當PN≠0，即0＜t＜3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形.

連結PD，CN，則

S=S_{四邊形ANCD}-S_△ADP= S_梯形ABCD+S_△BCN -S_△ADP

        =(BC+AD)·AB+BN·BC-AP·AD

=(1+2)·3+(-t²+4t- 3)·1-t·2

=-t²+t+ 3=-(t-1)²+.

由-＜0，0＜t＜3，當t=1時，S_最大=.

綜上所述，當t=1時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，

這個最大值為.                                  ………………(13分)

 

【解析】略