Question

（以下兩小題選做一題，第1小題滿分14分，第2小題滿分為10分．若兩小題都做，以第1小題計分）
選做第

 

小題．
（1）一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標系內，O為原點，點A在x的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
①如圖，將紙片沿CE對折，點B落在x軸上的點D處，求點D的坐標；
②在①中，設BD與CE的交點為P，若點P，B在拋物線y=x²+bx+c上，求b，c的值；
③若將紙片沿直線l對折，點B落在坐標軸上的點F處，l與BF的交點為Q，若點Q在②的拋物線上，求l的解析式．
（2）一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標系內，O為原點，點A在x的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
①求直線AC的解析式；
②若M為AC與BO的交點，點M在拋物線y=-

8

5

x²+kx上，求k的值；
③將紙片沿CE對折，點B落在x軸上的點D處，試判斷點D是否在②的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）①求D點坐標，關鍵是求OD的長，根據折疊的性質可知：CD=BC=OA，在直角三角形OCD中，根據OC、CD的長，即可用勾股定理求出OD的值．也就求出了D點的坐標．
②還是根據折疊的性質求解，根據折疊的性質不難得出CE垂直平分BD，即P為BD中點，因此P點橫坐標為OD的長加上AD的一半，而P點縱坐標為B點縱坐標的一半，據此可求出P點坐標．然后將P、B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出待定系數的值．
③由于F點的位置不確定，可分兩種情況：
①當F在x軸上時，Q點縱坐標為B點總坐標的一半，由此可求出Q點縱坐標，將其代入拋物線的解析式中，可求得Q點的坐標．然后根據Q點坐標，然后根據Q點坐標去求直線l與坐標軸其他交點的坐標．
②當F在y軸上時，Q點橫坐標為B點橫坐標的一半，可將其代入拋物線的解析式中求出Q點坐標，后同①．（本題也可先求出直線BQ的解析式，由于直線l垂直BQ，那么直線l的斜率和直線BQ的斜率的積為-1，又知直線l過Q點可求出直線l的解析式．）
（2）題較簡單，參照（1）題部分解題過程即可．
①已知OA=5，OC=4故A（5，0），C（0，4）求出直線AC的解析式為y=-

4

5

x+4．
②可知M點坐標為（

5

2

，2），設-

8

5

（

5

2

）²+k•

5

2

=2可求得k值．
③已知CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°推出D（3，0）．當x=3時，y=-

8

5

×3²+

24

5

×3=0，得出點D在拋物線上．

解答：解：（1）①根據題意知，CD=CB=OA=5
∵∠COD=90°
∴CD=

CD2-OC2

=3
∴D點坐標為（3，0）
②過P作PG⊥x軸于G

據題知，PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1
∴P點坐標（4，2）
∵點P，B在拋物線y=x²+bx+c上
∴b=-7，c=14
③當點F在x軸上時，過Q作QM⊥x軸于M

同②可知QM=

1

2

AB=2，則Q點的縱坐標為2
得x²-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q點的坐標為（3，2）或（4，2）
當Q點坐標為（3，2）時，如圖，OM=3，MA=2，FA=4
AB=4
FA=AB，而l為BF的中垂線
∴點A在l上
∴l的解析式為y=-x+5．
當Q點坐標為（4，2）時，如圖，OM=4，MA=1，OF=3，CF=5，而CB=5；
∴CF=CB
∵l為BF的中垂線
∴點C在l上．
∴l的解析式為y=-

1

2

x+4．
當點F在y軸上時，可求得Q（

5

2

，

11

4

），l與y軸的交點為（0，

31

4

）
∴l的解析式為y=-2x+

31

4

綜上所述，l的解析式為y=-x+5或y=-

1

2

x+4或y=-2x+

31

4

．
（2）①∵OA=5，OC=4，
∴A（5，0），C（0，4）；
∴直線AC的解析式為y=-

4

5

x+4．
②可知：M點坐標為（

5

2

，2）．
由題設知：-

8

5

（

5

2

）²+k•

5

2

=2．
∴k=

24

5

③∵CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°
∴OD=3，即D（3，0）．
當x=3時，y=-

8

5

×3²+

24

5

×3=0
∴點D在拋物線上．

點評：本題考查了矩形的性質、二次函數解析式的確定、圖形的翻折變換等知識，（1）③中要注意F點的位置是坐標軸而不是x軸，因此要分類討論，不要漏解．