Question

【題目】如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所對的優弧上的動點，連接AP，過點A作AP的垂線交射線PB于點C．當△PAB是等腰三角形時，線段BC的長為________．

Answer 1

【答案】或或．

【解析】

試題分析：（1）當AB=AP時，如圖（1），作OH⊥AB于點H，延長AO交PB于點G；∵AB=AP，∴，∵AO過圓心，∴AG⊥PB，∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，∵∠AOB=2∠P，∴∠AOH=∠P，∵OA=5，AH=4，∴OH=3，∵∠OAH=∠PAG，∴sin∠OAH=sin∠PAG，∴，∴PG=，∵∠AOH=∠P，∴cos∠AOH=cos∠P，，∴，∴BC=PC－2PG=；

（2）當PA=PB時，如圖（2），延長PO交AB于點K，類似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；

（3）當BA=BP時，如圖（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．

故答案為：或或．