Question

已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，AO²+BO²=10，拋物線交y軸于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）證明△ADC是直角三角形；
（3）第一象限內，在拋物線上是否存在一點E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先根據拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0），得出AO²+（-1）²=10，即可得出A點坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式；
（2）首先求出頂點坐標，再求出AD²=CD²+AC²，即可得出答案；
（3）首先得出Rt△BOC∽Rt△GAC，即可得出AG的長，再得出CG的解析式，求出直線與拋物線解析式交點即可．

解答：（1）解：∵拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0）
∴AO²+（-1）²=10，
∴AO²=9，
∴AO=±3，∴A（3，0）
把A（3，0）、B（-1，0）代入y=ax²+bx+3得：

9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；

（2）證明：∵拋物線的解析式：
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點 D（1，4）
由（1）得：∴AC²=3²+3²=18，
CD²=2，AD²=20，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ADC是直角三角形．

（3）解：過A作AG⊥AC交CE于G，過G作GH⊥x軸于H，
∵∠ECO=∠ACB，∴∠ECA=∠BCO，
∵∠COB=∠CAG，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴

OB

AG

=

OC

AC

，
∴

2

AG

=

3

3 2

，
∴AG=

2

由OC=OA，GH⊥x軸，
∴AH=GH，∴AH²+GH²=AG²
得AH=GH=1，
∴G點坐標為（4，1），
將C（0，3），G（4，1）代入y=kx+c得：

c=3 4k+c=1

，
解得：

k=- 1 2 c=3

∴直線CG的解析式為：y=-

1

2

x+3，
聯立：y=-

1

2

x+3與y=-x²+2x+3，
-

1

2

x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=

5

2

，x₂=0（與A點重合舍去），
x=

5

2

時，y=

7

4

，
∴E（

5

2

，

7

4

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及相似三角形的性質和圖象交點求法，利用數形結合得出是解題關鍵．