Question

取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如圖所示．
試問：
（1）當α為多少度時，能使得圖②中AB∥DC；
（2）當旋轉至圖③位置，此時α又為多少度圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比；
（3）連接BD，當0°＜α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】分析：一副三角板的角度常識和相似三角形的判定定理及性質可求解．
解答：解：（1）如圖②，由題意∠CAC'=α，
要使AB∥DC，須∠BAC=∠ACD，
∴∠BAC=30°．
∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°．
即α=15°時，能使得AB∥DC．（4分）


（2）易得α=45°時，可得圖③，
此時，若記DC與AC'，BC'分別交于點E，F，
則共有兩對相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．（6分）
下求△BFC與△ADC的相似比：
在圖③中，設AB=a，則易得AC=a．
則BC=（-1）a，BC：AC=（-1）a：a=1：（2+）
或（2-）：2．（8分）
注：△C'FE與△ADE的相似比為：C'F：AD=（-+1）：或（+-2）：2．

（3）解法一：
當0°＜α≤45°時，總有△EFC'存在．
∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC'，∠CAC'=α，∠FEC'=∠C+α，
∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180°
∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°（11分）
又∵∠C'=45°，∠C=30°
∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°（13分）
解法二：
在圖②中，BD分別交AC，AC'于點M，N，
由于在△AMN中，∠CAC'=α，∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°，
∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180°
∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180°
∴∠BDC+α+∠DBC'=105°（11分）
在圖③中，α=∠CAC'=45°
易得∠DBC'+∠BDC=60°
也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°
綜上，當0°＜a≤45°時，總有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°．（13分）
點評：此題主要考查了相似三角形的判定定理及一副三角板的固定角度．需注意的是利用相似性質的時候找準對應的角、對應邊．