Question

（2011•峨眉山市二模）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，BC與⊙O交于D，D是BC的中點，過D作DE⊥AC，交AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=10，BD=8，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）要證明切線，結合DE⊥AC，只需證明OD∥AC，顯然根據三角形的中位線定理即可證明；
（2）連接AD，因為AB為圓的直徑，所以∠ADB=90°利用勾股定理求出AD的長，根據（1）中的平行，易證明角相等．從而發現等腰三角形ABC，然后進行計算即可．

解答：（1）證明：連接OD；
∵BD=CD，AO=BO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE與⊙O相切；

（2）解：連接AD，
由（1）知，OD∥AC，
∴∠BDO=∠C．
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠B=∠C．
∴AC=AB．
∵AB=10，
∴AC=10，
∵AB為圓的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD=

AB 2-BD 2

=6，
∴CD=8，
∵S_△ADC=

1

2

CD×AD=

1

2

AC×DE，
∴DE=

CD•AD

AC

=

8×6

10

=4.8．

點評：本題綜合性較強，考查點較多，考查了切線的判定定理和性質定理、勾股定理，以及三角形的面積公式，要細心思考認真分析，思路還是比較好找的．