Question

把一張長為20cm，寬為16cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形（如圖1），再折疊成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)，如圖2）．設(shè)剪去的正方形邊長為x（cm），x為正整數(shù)．折成的長方體盒子底面積為y（cm²）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）折疊成的長方體盒子底面積是否有最大值？若有，請求出最大值，若沒有，說明理由；
（3）你認(rèn)為折疊成的無蓋長方體盒子的側(cè)面積有可能是192cm²嗎？若能，請求出此時x的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，由題意，得
y=（20-2x）（16-2x）=4x²-72x+320；

（2）設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，
由題意得：y=4x²-72x+320=4（x-9）²-4，
∵20-2x＞0，
∴x＜10，
又∵x為正整數(shù)，
∴當(dāng)x=1時，y取得最大，最大值為252．
（3）折合而成的無蓋長方體盒子的側(cè)面積不可能等于192cm²，理由如下：
設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，
由題意，得　2[x（10-2x）+x（16-2x）]=192，
整理得2x²-9x+48=0
∵△=b²-4ac=81-4×2×48＜0，
∴原方程沒有實(shí)數(shù)解．
即折合而成的無蓋長方體盒子的側(cè)面積不可能等于52cm²．
分析：（1）設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，由題意，得y=（20-2x）（16-2x）即可得出答案；
（2）可設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，根據(jù)二次函數(shù)最值求法求解即可；
（3）可設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，根據(jù)無蓋長方體盒子的側(cè)面積等于192 cm²，可得方程2[x（20-2x）+x（16-2x）]=192，再根據(jù)根的判別式作出判斷．
點(diǎn)評：本題主要考查了矩形的面積的求法，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)面積的計(jì)算方法正確的表示出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．