Question

如圖，已知P為∠AOB的平分線OP上一點，PC⊥OA于點C，∠0AP+∠0BP=180°．求證：AO+BO=2CO．

Answer 1

證明：作PD⊥OB于D．
∴∠PDO=90°．
∵P為∠AOB的平分線OP上一點，PC⊥OA
∴PC=PD．∠PCA=90°．
∴∠PCA=∠PDO．
在Rt△PCO和RtPDO中，
，
∴Rt△PCO≌RtPDO（HL），
∴OC=OD．
∵∠OBP+∠DBP=180°，且∠0AP+∠0BP=180°，
∴∠OAP=∠DBP．
在△ACP和△BDP中，
，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴AC=BD．
∵AO+BO=AC+CO+BO，
∴AO+BO=BD+BO+CO，
∴AO+BO=DO+CO，
∴AO+BO=2CO．
分析：作PD⊥OB于D，根據角平分線的性質就可以得出PC=PD，就有△PCO≌PDO，就可以得出△ACP≌△BDP，進而得出結論．
點評：本題考查了角平分線的性質的運用，直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．