Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對角線的交點，過O任作一直線分別交BC、AD于點M、N（如圖1）．
（1）求證：BM=DN；
（2）如圖2，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，若△CDN的面積與△CMN的面積比為3：5，DC=4，判斷
∠ENA+∠ANC是否等于180度？若是說明理由并求四邊形ABCE的面積．若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）連AC，根據矩形的性質得到OA=OC，易證△ANO≌△CMO，則AN=MC，即可得到結論；
（2）利用△CDN的面積與△CMN的面積比為3：5得DN：MC=3：5，則DN：AN=3：5，再根據折疊的性質得EN=DN，AE=DC=4，∠E=∠D=90°，在Rt△AEN中利用勾股定理易得AN=5，EN=3，同樣可得NC，易證Rt△NEA≌Rt△NDC，則∠ANE=∠DNC，即可得到∠ENA+∠ANC=180°；易得四邊形ABCE的面積=四邊形ABCD的面積，然后根據矩形的面積公式計算即可．

解答：（1）證明：連AC，如圖
∵O是矩形ABCD的對角線的交點，
∴OA=OC，
而AN∥MC，
∴∠OAN=∠OCM，∠ANO=∠OMC，
∴△ANO≌△CMO，
∴AN=MC，
∴BM=DN；

（2）解：∠ENA+∠ANC=180°．理由如下：
∵△CDN的面積與△CMN的面積比為3：5，
∴DN：MC=3：5，
∴DN：AN=3：5，
又∵四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，
∴EN=DN，AE=DC=4，∠E=∠D=90°，
在Rt△AEN中，EN：AN=3：5，AE=4，
設EN=3x，則AN=5x，
∴（5x）²=（3x）²+4²，解得x=1，
∴AN=5，EN=3，
∴DN=3，
在Rt△DNC中，NC=

32+42

=5，
∴Rt△NEA≌Rt△NDC，
∴∠ANE=∠DNC，
∴∠ENA+∠ANC=180°；
∴四邊形ABCE的面積=四邊形ABCD的面積=4×（3+5）=32．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等；也考查了勾股定理、矩形的性質以及三角形全等的判定與性質．