Question

如圖①，拋物線y=ax²+bx+5交x軸于A、B，交y軸于C，拋物線的頂點D的橫坐標為4，OA•OC=OB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖②，若P為拋物線上一動點，PQ∥y軸交直線l：y=

3

4

x+9于點Q，以PQ為對角線作矩形且使得矩形的一邊在直線l上，問是否存在這樣一點P使得矩形的面積最小？若存在，求其最小值；若不存在，請說明理由
（3）如圖③，將直線向下平移m個單位（m＞9），設平移后的直線交拋物線于M、N兩點（點M在點N左邊），M關于原點的對稱點為M′，連接M′N，問M′N在x軸上的正投影是否為定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線求出點C的坐標為（0，5），從而得到OC的長度是5，然后得到點B的橫坐標是點A的橫坐標的5倍，再根據頂點的橫坐標列式求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）根據直線l的解析式表示出矩形的長與寬與PQ的關系，然后表示出矩形的面積，再根據直線與拋物線的解析式表示出PQ，然后根據二次函數的最值問題求出PQ，再代入進行計算即可得解；
（3）先表示出M′N在x軸上的正投影，再根據向下平移縱坐標減表示出平移后的直線解析式，然后與拋物線聯立，消掉y得到關于x的一元二次方程，再根據關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數用點M的坐標表示出點M′的橫坐標，然后根據正投影的定義，表示出點M′N的橫坐標的差值即可得解．

解答：解：（1）令x=0，則y=5，
所以，點C的坐標為（0，5），OC=5，
∵OA•OC=OB，
∴5OA=OB，
∴-5x_A=x_B，①
∵拋物線的頂點D的橫坐標為4，
∴

xA+xB

2

=4，②
①、②聯立解得，x_A=-2，x_B=10，
∴點A（-2，0），B（10，0），
∵拋物線y=ax²+bx+5交x軸于A、B，
∴

4a-2b+5=0 100a+10b+5=0

，
解得

a=- 1 4 b=2

，
所以，拋物線解析式為y=-

1

4

x²+2x+5；

（2）∵以PQ為對角線的矩形的一邊在直線l：y=

3

4

x+9上，

32+42

=5，
∴矩形的長、寬分別為

4

5

PQ，

3

5

PQ，
∴矩形的面積為

4

5

PQ•

3

5

PQ=

12

25

PQ²，
∵點P在拋物線y=-

1

4

x²+2x+5上，點Q在直線y=

3

4

x+9上，
∴PQ=x_Q-x_P=

3

4

x+9-（-

1

4

x²+2x+5）=

1

4

x²-

5

4

x+4=

1

4

（x²-5x+

25

4

）-

25

16

+4=

1

4

（x-

5

2

）²+

39

16

，
∴當x=

5

2

時，PQ有最小值為

39

16

，
故矩形面積的最小值為

12

25

×（

39

16

）²=

4563

1600

；

（3）是定值5．
理由如下：設M′N在x軸上的正投影為EF，則EF等于點N的橫坐標減去點M′的橫坐標，
∵直線y=

3

4

x+9向下平移m個單位，
∴平移后的直線解析式為y=

3

4

x+9-m，
聯立

y= 3 4 x+9-m y=- 1 4 x2+2x+5

，
消掉y得，

1

4

x²-

5

4

x+4-m=0，
∵點M與點M′關于原點對稱，
∴點M′的橫坐標與點M的橫坐標互為相反數，
∴EF=-

- 5 4

1 4

=5，是定值．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，矩形的面積，二次函數的最值問題，聯立兩函數解析式求交點，根與系數的關系，綜合性較強，（1）求出點A、B的關系式，（2）根據直線用PQ表示出矩形的長與寬，（3）根據點M、M′的橫坐標的關系利用根與系數的關系判斷是解題的關鍵．