Question

【題目】如圖（1），E是直線AB、CD內部一點，AB∥CD，連接EA、ED．

（1）探究：
①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？
②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？
③在圖（1）中∠AED、∠EAB、∠EDC有什么數量關系，并證明你的結論．
（2）拓展：如圖（2），射線FE與矩形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的四個區域（不含邊界，其中③④位于直線AB的上方），P是位于以上四個區域上點，猜想：∠PEB、∠PFC、∠EPF之間的關系．（不要求證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖①，過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=30°，∠D=40°，

∴∠1=∠A=30°，∠2=∠D=40°，

∴∠AED=∠1+∠2=70°；

②過點E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∵∠A=20°，∠D=60°，

∴∠1=∠A=20°，∠2=∠D=60°，

∴∠AED=∠1+∠2=80°；

③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC．

理由：過點E作EF∥CD，

∵AB∥DC，

∴EF∥AB（平行于同一條直線的兩直線平行），

∴∠1=∠EAB，∠2=∠EDC（兩直線平行，內錯角相等），

∴∠AED=∠1+∠2=∠EAB+∠EDC（等量代換）．

（2）解：點P在區域①時，

如圖1，在五邊形EBCFP中，∠PEB+∠B+∠C+∠PFC+∠P=540°

∴∠EPF=540°﹣∠B﹣∠C﹣（∠PEB+∠PFC）=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；

點P在區域②時，如圖2，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB+∠PFC；

點P在區域③時，如圖3，同（1）的方法得，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；

點P在區域④時，如圖4，同（1）的方法得，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．

【解析】解階梯式問題的基本策略是利用第1問的結論，特殊問題的方法可運用到一般問題中.