Question

【題目】已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為M，與y軸的交點為N，我們稱以N為頂點，對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．

（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是　 　，衍生直線的解析式是　 　；

（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；

（3）如圖，設（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M，與y軸交點為N，將它的衍生直線MN先繞點N旋轉到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，P是直線n上的動點，是否存在點P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；

（3）存在，P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．

【解析】分析：（1）衍生拋物線頂點為原拋物線與y軸的交點，則可根據頂點設頂點式方程，由衍生拋物線過原拋物線的頂點則解析式易得，MN解析式易得．

（2）已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與（1）相反，根據衍生拋物線與衍生直線的兩交點分別為衍生拋物線與原拋物線的交點，則可推得原拋物線頂點式，再代入經過點，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直線MN繞點N旋轉到與x軸平行得到y=﹣3，再向上平移1個單位即得直線y=﹣2，所以P點可設（x，﹣2）．在坐標系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理，對于坐標系中的兩點，分別過點作平行于x軸、y軸的直線，則可構成以兩點間距離為斜邊的直角三角形，且直角邊長都為兩點橫縱坐標差的絕對值．進而我們可以先算出三點所成三條線的平方，然后組合構成滿足勾股定理的三種情況，易得P點坐標．

本題解析：

（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過（0，﹣3），

∴設其衍生拋物線為y=ax2﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，

∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點（1，﹣4），

∴﹣4=a1﹣3，

解得 a=﹣1，

∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3．

設衍生直線為y=kx+b，

∵y=kx+b過（0，﹣3），（1，﹣4），

∴，

∴，

∴衍生直線為y=﹣x﹣3．

（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點，

∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯立，得，

解得 或，

∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點為（0，1），

∴原拋物線的頂點為（1，﹣1）．

設原拋物線為y=a（x﹣1）2﹣1，

∵y=a（x﹣1）2﹣1過（0，1），

∴1=a（0﹣1）2﹣1，

解得 a=2，

∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1．

（3）∵N（0，﹣3），

∴MN繞點N旋轉到與x軸平行后，解析式為y=﹣3，

∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2．

設點P坐標為（x，﹣2），

∵O（0，0），M（1，﹣4），

∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，

OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，

MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．

①當OM2=OP2+MP2時，有17=x2+4+x2﹣2x+5，

解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．

②當OP2=OM2+MP2時，有x2+4=17+x2﹣2x+5，

解得 x=9，即P（9，﹣2）．

③當MP2=OP2+OM2時，有x2﹣2x+5=x2+4+17，

解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．

綜上所述，當P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）時，△POM為直角三角形．