Question

【題目】如圖1，，是的直徑，點在上，連接，．

（1）求證：平分；

（2）如圖2，連接，點在上，連接，與交于點，求證：；

（3）在（2）的條件下，點在上，連接，，，與交于點，若，，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接，由，，，可證明≌，再根據全等三角形的性質，對應角相等，即可證明；

（2）根據同弧所對的圓周角相等，可知，由（1）知，得，又根據同圓半徑相等，得，，由三角形外角等于不相鄰兩內角和可得，，進而得到，由此可以證明∥；

（3）過點作，，，根據，可知，設，，則，由，，易知為等腰三角形，由，可知，得AB=10a；再由，可得，，再在使用勾股定理，可求得；證明≌，可得，解Rt△CPF可得，則；由≌，，可得，；解，得，；解等腰和，得，再由即可求得的值．

解：（1）如圖，連接，

∵，，，

∴≌，

∴，

∴平分；

（2）由（1）知，

∵弧所對的圓周角相等，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴∥；

（3）過點作，，，

∵，

∴，

∴在中，，

設，，則，

∵，

∴，．

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵∥，

∴，

∴，

∴，，，

在中，

∵，

∴，

∴，（舍），

∴，，

又∵，

∴≌，

∴，，

∴，

∴在中，，

∴，

∵，，

∴≌，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴在中，，，

在中，，

設，，

∴，

∴，

∴，

∴．