Question

【題目】已知二次函數y=x2+2x+與x軸有兩個交點，且k為正整數．

（1）求k的值；

（2）當二次函數y=x2+2x+圖象經過原點時，直線y=3x+2與之交于A、B兩點，若M是拋物線上在直線y=3x+2下方的一個動點，△MAB面積是否存在最大值？若存在，請求出M點坐標，并求出△MAB面積最大值；若不存在，請說明理由.

（3）將（2）中的二次函數圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個新圖象.若直線y=kx+2（k>0）與該新圖象恰好有三個公共點，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）k為1，2；

（2）M坐標為，S△MAB=；

（3）k=1或時，與該新圖象恰好有三個公共點．

【解析】試題分析：（1）利用一元二次方程根的判別式可得到關于k的不等式，利用k為正整數可求得k的值；
（2）由條件可求得k的值，則可求得二次函數解析式，可求得A、B坐標，利用二次函數的性質可求得線段MN的最大值及此時點M的坐標；
（3）可畫出二次函數的圖象，當直線過A點時，可知直線與拋物線有三個公共點，當直線不過A點時，結合函數圖象，利用方程可求得對應的b的值．

試題解析：（1）∵二次函數y=x2+2x+與x軸有兩個交點

∴Δ=

∴k﹣1＜2．

∴k＜3．

∵k為正整數，

∴k為1，2．

（2）把x=0代入方程x2+2x+得k=1，

此時二次函數為y=x2+2x，

此時直線y=3x+2與二次函數y=x2+2x的交點為A（﹣1，-1），B（2，8）

設與直線y=3x+2平行的直線為y=3x+b，列方程組得： 即：x2-x-b=0，△=b2-4ac=1+4b=0，所以b=時有一個交點，代入求得交點M坐標為(， ).

過點M作MN∥x軸交直線AB于點N，點N坐標為(， ).

∴MN=.

∴S△MAB=MN(yB-yA)=

（3）由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關于x軸對稱，所以其解析式為y=﹣x2﹣2x，

當直線與新圖象有3個公共點（如圖所示），直線為l1 、l2，其中l1 過點C，l2與翻轉部分圖象有一個交點.分為以下兩種情況：

①直線l1：y=kx+2過點C（-2，0），代入y=kx+2得：k=1.

②直線l2：

則有一組解，此時有兩個相等的實數根，

即△=0，解得： ， （舍去）

綜上所述k=1或時，與該新圖象恰好有三個公共點．