Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A和C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3），拋物線y=﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、C，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，與BC邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，拋物線的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）點(diǎn)P在直線MN上，求當(dāng)PE+PA的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，探索在x軸是否存在一點(diǎn)F，使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；不存在，說(shuō)明理由；

（4）將拋物線沿y軸方向平移m個(gè)單位后，頂點(diǎn)為Q，若QO平分∠CQN，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（1，2）（3）F（6，0），（-6，0）；（4）Q（1， ），（1， ）

【解析】試題分析：（1）由已知條件易得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P，利用待定系數(shù)法求得AC的解析式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在y軸的正半軸上截取OH=OD=1，則H的坐標(biāo)是（0，1），延長(zhǎng)DH交AC于點(diǎn)G，則DG⊥AC，∠CDH=∠CDO﹣∠CAO，當(dāng)F在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，當(dāng)∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時(shí)，則△CFO∽△CDG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得OF的長(zhǎng)，則F的坐標(biāo)即可求得，然后根據(jù)對(duì)稱性求得F在x軸的正半軸時(shí)的坐標(biāo)；

（4）當(dāng)拋物線沿y軸的正半軸移動(dòng)時(shí)，Q的橫坐標(biāo)是1，QO平分∠CQN，則CQ=OC，利用勾股定理即可求得Q的縱坐標(biāo)；同理求得拋物線沿y軸的負(fù)半軸移動(dòng)時(shí)Q的坐標(biāo)．

試題解析： 解：（1）∵四邊形OABC是正方形，B的坐標(biāo)是（3，3），

∴A的坐標(biāo)是（3，0），C的坐標(biāo)是（0，3）．

根據(jù)題意得，

解得：，

則二次函數(shù)的解析式是y=﹣x2+2x+3；

（2）設(shè)直線AC的解析式是y=ax+b，

，

解得：，

則直線AC的解析式是y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，

則P的坐標(biāo)是（1，2）；

（3）在y=﹣x2+2x+3中令y=0，則﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3．

則D的坐標(biāo)是（﹣1，0）A的坐標(biāo)是（3，0）．

在y軸的正半軸上截取OH=OD=1，則H的坐標(biāo)是（0，1），延長(zhǎng)DH交AC于點(diǎn)G，則DG⊥AC；

∵直角△ODF中，OH=OD，

∴∠HDO=45°，

同理，∠CAO=45°，

∴∠HDO=∠CAO．則∠CDH=∠CDO﹣∠CAO．

當(dāng)F在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，

設(shè)DG的解析式是y=ex+f，則，

解得，則DG的解析式是y=x+1．

根據(jù)題意得：，

解得：，

則G的坐標(biāo)是（1，2）．

則DG=，CD=，CG=．

當(dāng)∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時(shí)，△CFO∽△CDG，

則，即，解得：OF=6，

則F的坐標(biāo)是（﹣6，0）．

根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)F在x軸的正半軸上時(shí)F的坐標(biāo)是（6，0）；

（4）當(dāng)拋物線沿y軸的正半軸移動(dòng)時(shí)，如圖3，

設(shè)Q的坐標(biāo)是（1，n）．作QI⊥y軸于點(diǎn)I．則IQ=1，IC=n﹣3，

則QO平分∠CQN，則CQ=OC=3，12+（n﹣3）2=32，

解得：n=3+2，

則Q的坐標(biāo)是（1，3+2）；

同理，當(dāng)拋物線沿y軸的負(fù)方向移動(dòng)時(shí)Q的坐標(biāo)是（1，3﹣2）．

總之，Q的坐標(biāo)是（1，3+2）或（1，3﹣2）．