Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形．在邊AD上取一點E，連接BE，使∠AEB＝60°．

（1）利用尺規作圖（保留作圖痕跡）：分別以點B、C為圓心，BC長為半徑作弧交正方形內部于點T，連接BT并延長交邊AD于點E，則∠AEB＝60°；

（2）在前面的條件下，取BE中點M，過點M的直線分別交邊AB、CD于點P、Q．

①當PQ⊥BE時，求證：BP＝2AP；

②當PQ＝BE時，延長BE，CD交于N點，猜想NQ與MQ的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）①見解析；②NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由見解析

【解析】

（1）分別以點B、C為圓心，BC長為半徑作弧交正方形內部于點T，連接BT并延長交邊AD于點E；

（2）①連接PE，先證明PQ垂直平分BE．得到PB＝PE，再證明∠APE＝60°，得到∠AEP＝30°，利用在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，即可解答；

②NQ＝2MQ或NQ＝MQ，分兩種情況討論，作出輔助線，證明△ABE≌△FQP，即可解答．

（1）解：如圖1，

分別以點B、C為圓心，BC長為半徑作弧交正方形內部于點T，連接BT并延長交邊AD于點E；

（2）①證明：連接PE，如圖2，

∵點M是BE的中點，PQ⊥BE，

∴PQ垂直平分BE．

∴PB＝PE，

∴∠PEB＝∠PBE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，

∴∠APE＝∠PBE+∠PEB＝60°，

∴∠AEP＝90°∠APE＝90°﹣60°＝30°，

∴BP＝EP＝2AP．

②NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由如下：

分兩種情況：

如圖3所示，過點Q作QF⊥AB于點F交BC于點G，則FQ＝CB．

∵正方形ABCD中，AB＝BC，

∴FQ＝AB．

在Rt△ABE和Rt△FQP中，，

∴Rt△ABE≌Rt△FQP（HL）．

∴∠FQP＝∠ABE＝30°．

又∵∠MGQ＝∠AEB＝60°，

∴∠GMQ＝90°，

∵CD∥AB．

∴∠N＝∠ABE＝30°．

∴NQ＝2MQ，

如圖4所示，

過點Q作QF⊥AB于點F交BC于點G，則QF＝CB．

同理可證：△ABE≌△FQP．

此時∠FPQ＝∠AEB＝60°．

又∵∠FPQ＝∠ABE+∠PMB，∠N＝∠ABE＝30°．

∴∠EMQ＝∠PMB＝30°．

∴∠N＝∠EMQ，

∴NQ＝MQ．