Question

如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉90°，點B旋轉到點C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A三點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．
（3）如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經過原點，故設y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；
（2）四邊形PEFM的周長有最大值，設點P的坐標為P（a，-a²+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4-2a，PE=MF=-a²+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，利用函數的性質即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；
（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，由（1）可求出拋物線的頂點坐標，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=-4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有-x²+4x=-4，解方程即可求出交點坐標．
解答：解：（1）因為OA=4，AB=2，把△AOB繞點O逆時針旋轉90°，
可以確定點C的坐標為（2，4）；由圖可知點A的坐標為（4，0），
又因為拋物線經過原點，故設y=ax²+bx把（2，4），（4，0）代入，
得，
解得
所以拋物線的解析式為y=-x²+4x；

（2）四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：
由題意，如圖所示，設點P的坐標為P（a，-a²+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF，
∴EF=PM=4-2a，PE=MF=-a²+4a，
則矩形PEFM的周長L=2[4-2a+（-a²+4a）]=-2（a-1）²+10，
∴當a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，L_max=10；

（3）在拋物線上存在點N，使O（原點）、C、H、N四點構成以OC為一邊的平行四邊形，理由如下：
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4可知頂點坐標（2，4），
∴知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，
過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=-4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，
這兩個交點為所求的N點坐標所以有-x²+4x=-4 解得x₁=2+，x₂=2-
∴N點坐標為N₁（2+，-4），N₂（2-，-4）．
點評：本題考查了旋轉的性質、利用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的最大值問題和函數圖象的交點問題，題目的綜合性很強，對學生的綜合解題能力要求很高．