Question

【題目】已知：如圖，四邊形，，，，，，動點從點開始沿邊勻速運動，運動速度為，動點從點開始沿邊勻速運動，運動速度為．點和點同時出發，為四邊形的對角線的交點，連接并延長交于，連接．設運動的時間為，．

（1）當為何值時，？

（2）設五邊形的面積為，求與之間的函數關系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻，使的面積等于五邊形面積的？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻，使點在的垂直平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由詳見解析；（4）存在，，．

【解析】

（1）如下圖，根據Rt△ADH求得AD的長，在利用QP∥DB得到t的值；

（2）先利用，得到AP、BP、DM，然后用割補法求面積；

（3）假設存在，使得的面積等于五邊形面積的，驗證t的值是否在取值范圍內；

（4）如下圖，分別在Rt△EMQ和Rt△QFP中求得QM和QP的長，令它們相等求得t.

（1）如下圖，過點D作AB的垂線交AB于點H

∵DC=8，AB=16，CB=6，∴AH=8，DH=6

∴在Rt△DHA中，

設則

∴

∵QP∥DB

，即

解得：．

（2）∵DC∥AB

∴∠ABO=∠CDO，∠OAB=∠DCO

∴

∴

∵，∴

∴四

．

（3）∵四

又∵的面積等于五邊形面積的

∴四，即：

解得：，

，不存在．

（4）如下圖，延長CD，過點Q作AB的垂線，交CD于點E，AB與點F

∵∠QAF=QDE，∠AHD=∠QED

∴△AHD∽△DEQ

同理，△ADH∽△AQF

∵AD=10，AH=8

又∵QD=t

∴EQ=，ED=

∵AQ=10－t

∴AF=，FQ=

∴QM=

QP=

∵點Q是MP的垂直平分線，∴QM=QP，即：

化簡得：

解得：，．