Question

在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠DAB．

（1）如圖①，當∠DAB=120°，∠B=∠D=90°時，求證：AB+AD=AC．
（2）如圖②，當∠DAB=120°，∠B與∠D互補時，線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．
（3）如圖③，當∠DAB=90°，∠B與∠D互補時，線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得AB+AD=AC；
（2）首先過C點分別作AD和AB延長線的垂線段，垂足分別為E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B與∠D互補，可證得△CED≌△CFB，則可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，則可得線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系為AB+AD=AC；
（3）首先過C點分別作AB和AD延長線的垂線段，垂足分別是E、F，與（2）同理可得△CEB≌△CFD，則可得∠G=∠DAC=∠CAB=45°，即可求得線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系為AB+AD=AC．
解答：證明：（1）在四邊形ABCD中，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD=AC，
即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．
證明如下：如圖②，過C點分別作AD和AB延長線的垂線段，垂足分別為E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠D=180°，
∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D．
又∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB．
∴ED=BF．
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．
∵AC為角平分線，∠DAB=120°，
∴∠ECA=∠FCA=30°，
∴AE=AF=AC，
∴AE+AF=AC，
∴AB+AD=AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．

（3）AB+AD=AC．
證明如下：如圖③，過C點分別作AB和AD延長線的垂線段，垂足分別是E、F．
∵AC平分∠DAB，
∵CE⊥AD，CF⊥AF，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠ABC=∠EDC．
又∵∠CED=∠CFB=90°．
∴△CFB≌△CED（AAS）．
∴CB=CD．
延長AB至G，使BG=AD，連接CG．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC．
∴△GBC≌△ADC（SAS）．
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．
∴∠ACG=90°．
∴AG=AC．
∴AB+AD=AC．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，四邊形的性質，直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．