Question

如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E，D，連接EC，CD．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并加以證明；
（2）求證：BC²=BD•BE；
（3）若tanE=，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

解：（1）AB與⊙O相切，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵點C在⊙O上，
∴AB與⊙O相切

（2）連接OC，∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE為⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴BC²=BD•BE；

（3）∵，∠ECD=90°，
∴，
∵⊙O的半徑為3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴，設BC=x，
∴，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²，
∴9+x²=（2x-3）²，
∴x₁=0（舍去），x₂=4，
∴OA=OB=5．
分析：（1）根據題目給的OA=OB，CA=CB的條件，很容易證明直線AB與⊙O的位置關系是相切．
（2）連接AC，根據題目所給的條件去證明△BCD∽△BEC，問題可解．
（3）設BC的長是x，因為△BCD∽△BEC，根據相似三角形的對應邊成比例，可求出OB=OA=2x-3，根據勾股定理可求解．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理以及切線的判定和性質，關鍵是熟記這些性質定理和判定定理．