Question

【題目】如圖,AM是△ABC的中線,D是線段AM上一點(不與點A重合)DE∥AB交AC于點F,CE∥AM,連結AE.

(1)如圖1,當點D與M重合時,求證:四邊形ABDE是平行四邊形;

(2)如圖2,當點D不與M重合時,(1)中的結論還成立嗎?請說明理由.

(3)如圖3,延長BD交AC于點H,若BH⊥AC,且BH=AM

①求∠CAM的度數;

②當FH=, DM=4時,求DH的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）只要證明AE=BM，AE∥BM即可解決問題；

（2）成立．如圖2中，過點M作MG∥DE交CE于G．由四邊形DMGE是平行四邊形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四邊形ABDE是平行四邊形；

（3）①如圖3中，取線段HC的中點I，連接MI，只要證明MI=AM，MI⊥AC，即可解決問題；

②設DH=x，則AH=x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四邊形ABDE是平行四邊形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可；

試題解析：（1）如圖1中，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM，

∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB，

∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，

∴AB=ED，∵AB∥ED，∴四邊形ABDE是平行四邊形．

（2）結論：成立．理由如下：

如圖2中，過點M作MG∥DE交CE于G．

∵CE∥AM，∴四邊形DMGE是平行四邊形，∴ED=GM，且ED∥GM，

由（1）可知AB=GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（3）①如圖3中，取線段HC的中點I，連接MI，

∵BM=MC，∴MI是△BHC的中位線，∴MI∥BH，MI=BH，

∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°．

②設DH=x，則AH=x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x，

∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴DF∥AB，∴，

∴，解得x=或（舍棄），

∴DH=．