Question

在東西方向的海岸線L上有一長為1km的碼頭MN（如圖），在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°，且與A相距40km的B處；經過1小時20分鐘，又測得該輪船位于A的北偏東60°，且與A相距8

3

km的C處．
（1）求該輪船航行的速度（保留精確結果）；
（2）如果該輪船不改變航向繼續航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由；
（3）根據（2）的探究過程，請求出要使從B出發的輪船靠岸，那么輪船的航線y=kx+b的k的取值范圍？（直接寫出答案）

Answer 1

（1）∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，BC²=AB²+AC²=40²+（8

3

）²=1792，
∴BC=16

7

，
∴輪船的航行速度為

16 7

4 3

=12

7

（km/h）；

（2）以正東方向所在直線為橫軸，以正北方向所在直線為縱軸，點A為坐標原點，建立平面直角坐標系．作BE⊥x軸于E，則在直角△ABE中，AB=40km，∠BEA=90°，
則AE=AB•cos60°=20，BE=AB•sin60°=20

3

，
則B的坐標是：（-20，20

3

），
由題意可得出：AC=8

3

km，∠ACM=30°，
∴C點縱坐標為：4

3

，橫坐標為：

(8 3 )2-(4 3 )2

=12，
∴C的坐標是：（12，4

3

），
設直線BC的解析式是y=kx+b，
則

-20k+b=20 3 12k+b=4 3

，解得：

k=- 3 2 b=10 3

，
則直線BC的解析式為y=-

3

2

x+10

3

令y=0，則x=20，而AM=19.5，
∴20.5＞20＞19.5
∴輪船可以行至碼頭MN靠岸．…（4分）

（3）M的坐標是（19.5，0），設直線BM的解析式是y=kx+b
則

-20k+b=20 3 19.5k+b=0

，
解得：

k=- 40 3 79 b= 1560 3 79

，
N的坐標是（20.5，0），設直線BN的解析式是：y═kx+b，
則

-20k+b=20 3 20.5k+b=0

，
解得：

k=- 40 3 81 b= 820 3 81

，
則-

40 3

79

≤k≤-

40 3

81

…（3分）．