Question

【題目】“構造圖形解題”，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：

實例一：1876年，美國總統伽非爾德利用實例一圖證明了勾股定理：由S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得：（a+b）2=2×ab+c2，化簡得：a2+b2=c2．

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關于x的方程x2+ax=b2的圖解法是：畫Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=|b|，再在斜邊AB上截取BD=，則AD的長就是該方程的一個正根（如實例二圖）．

請根據以上閱讀材料回答下面的問題：

（1）如圖1，請利用圖形中面積的等量關系，寫出甲圖要證明的數學公式是______，乙圖要證明的數學公式是______，體現的數學思想是______；

（2）如圖2，若2和-8是關于x的方程x2+ax=b2的兩個根，按照實例二的方式構造Rt△ABC，連接CD，求CD的長；

（3）若x，y，z都為正數，且x2+y2=z2，請用構造圖形的方法求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，數形結合的思想（2）（3）

【解析】

（1）利用面積法解決問題即可．

（2）如圖2中，作CH⊥AB于H．由題意，AD=2，BC=BD=3，AC=4，利用面積法求出CH，BH，DH即可解決問題；

（3）如圖3中，用4個全等的直角三角形（直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形．當x+y是定值時，z最小的時候，定值最小，易知當小正方形的頂點是大正方形的中點時，z的值最小，此時x=y，z=x，由此即可解決問題．

（1）如圖1中，圖甲大正方形的面積=（a+b）2=a2+2ab+b2，

圖乙中大正方形的面積=a2=（a-b）2+b2+2b（a-b），

即a2-b2=（a-b）（a-b+2b）=（a+b）（a-b）．

甲圖要證明的數學公式是完全平方公式，乙圖要證明的數學公式是平方差公式，體現的數學思想是數形結合的思想．

故答案為：完全平方公式，平方差公式，數形結合的思想．

（2）如圖2中，作CH⊥AB于H．

由題意，AD=2，BC=BD=3，AC=4，

∵ACBC=ABCH，

∴CH= ，

∴BH=，

∴DH=BD-BH=，

∴CD=．

（3）如圖3中，用4個全等的直角三角形（直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形．

當x+y是定值時，z最小的時候，定值最小，

易知當小正方形的頂點是大正方形的中點時，z的值最小，此時x=y，z=x，

∴最大值=．