Question

【題目】如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD為銳角．

（1）求證：AD⊥BF；

（2）若BF=BC，求∠ADC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）150°．

【解析】試題分析：（1）連結DB、DF．根據菱形四邊相等得出AB=AD=FA，再利用SAS證明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在線段BF的垂直平分線上，又AB=AF，即A在線段BF的垂直平分線上，進而證明AD⊥BF；

（2）設AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，證明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根據平行線的性質即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．

（1）證明：如圖，連結DB、DF．

∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．

在△BAD與△FAD中，∵AB=AF，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在線段BF的垂直平分線上，∵AB=AF，∴A在線段BF的垂直平分線上，∴AD是線段BF的垂直平分線，∴AD⊥BF；

（2）如圖，設AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，則四邊形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．