Question

王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板子（如圖①）．王師傅想將這兩塊板子裁成兩塊全等的矩形板材．他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區域（如圖②）．由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點．
（1）求FC的長；
（2）利用圖②求出矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離x（cm）為多少時，矩形的面積y（cm²）最大？最大面積是多少？
（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形結構可知DE∥CG，容易想到用相似三角形的性質解答；
（2）畫出圖形，根據P點位置，分三種情況討論：①點P在AE上，②點P在EF上，③點P在FC上．通過觀察，易得①③；利用相似三角形的性質可計算出②．利用正方形面積公式，將面積最值問題轉化為一元二次方程最值問題解答．
解答：解：（1）由題意，得△DEF∽△CGF，
∴=，
又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC-FC=60-FC，CG=120-60=60，
∴=，
∴FC=40（cm）；（3分）

（2）如圖，設矩形頂點B所對頂點為P，則
①當頂點P在AE上時，x=60，y的最大值為60×30=1800（cm²）．（4分）
②當頂點P在EF上時，過點P分別作PN⊥BG于點N，PM⊥AB于點M．
根據題意，得△GFC∽△GPN．
∴=，
∴NG=x，
∴BN=120-x．
∴y=x（120-x）=-（x-40）²+2400．
∴當x=40時，y的最大值為2400（cm²）．（7分）
③當頂點P在FC上時，y的最大值為60×40=2400（cm²）．（8分）
綜合①②③，
得x=40cm時，矩形的面積最大，最大面積為2400cm²；（9分）

（3）根據題意，正方形的面積y（cm²）與邊長x（cm）滿足的函數表達式為：y=x（120-x）=-x²+120x．
當y=x²時，正方形的面積最大，
∴x²=-x²+120x．
解之，得x₁=0（舍），x₂=48（cm）．
∴面積最大的正方形的邊長為48cm．（12分）
點評：本題是一道幾何應用問題，在解第2題時不要忘了分類討論求出每一種情況的最大值后再進行比較得出結論，第3小題只需根據題意列出方程就能解決．