Question

已知：如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y＝kx＋b與x軸、y軸分別交與點A、B，與雙曲線y＝相交于C、D兩點，且點D的坐標為（1，6）.
（1）當點C的橫坐標為2時，試求直線AB的解析式，并直接寫出的值為    .

（2）如圖2，當點A落在x 軸的負半軸時，過點C作x軸的垂線，垂足為E，過點D作y軸的垂線，垂足為F，連接EF.①判斷ΔEFC的面積和ΔEFD的面積是否相等，并說明理由；②當＝2時，求tan∠OAB的值.

Answer 1

⑴，⑵①見解析②2

（1）∵D（1，6）在y=上，
∴m=6，即雙曲線解析式是 y=，----------1分
當C點橫坐標為2時，縱坐標為3，故C(2，3).
直線AB過點C（2,3）,D（1,6），得
，k=-3,b=9，故直線AB的解析式為y=-3x+9.-----3分
的值為----------------4分
（2）①設C(a,b),則ab=6,
∵S_ΔEFC=(-a)(-b)= ab=3，----------------5分
而S_ΔEFD＝×1×6＝3，
∴S_ΔEFC=S_ΔEFD--------------------6分
②由S_ΔEFC=S_ΔEFD
知EF∥CD，易知DFEA，FBCE都是平行四邊形，--------------7分
∴CE=BF，易知三角形DFB與三角形AEC全等，
∴AC=BD，-----------------9分
∵=2，設CD=2k，AB=k,DB=,
∴,由ΔDFB∽ΔAOB，知OA=2，且, -------10分
∴OB="4," ∴tan∠OAB= .------ ------11分

圖1                                   圖2
（1）首先由點D可求出雙曲線的解析式，再由點C的橫坐標為2時求出它的縱坐標，即可求出直線AB的解析式，利用勾股定理求出AB、CD的長
（2）利用C、D點的坐標，判斷ΔEFC的面積和ΔEFD的面積相等；通過三角形DFB與三角形AEC全等，求得AC=BD，從而求得ΔDFB∽ΔAOB，根據相似比求得tan∠OAB的值.