Question

如圖，已知直線l的函數表達式為y=

3

4

x+3，它與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點．
（1）求點A、點B的坐標；
（2）設F是x軸上一動點，⊙P經過點B且與x軸相切于點F設⊙P的圓心坐標為P（x，y），求y與x的函數關系式；
（3）是否存在這樣的⊙P，既與x軸相切又與直線l相切于點B？若存在，求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據坐標軸上點的坐標特征易得以A點坐標為（-4，0），B點坐標為（0，3）；
（2）過點P作PD⊥y軸于D，則PD=|x|，BD=|3-y|，根據切線的性質得PF=y，則PB=y，在Rt△BDP中，根據勾股定理得到y²=x²+（3-y）²，然后整理得到y=

1

6

x²+

3

2

；
（3）由于⊙P與x軸相切于點F，且與直線l相切于點B，根據切線長定理得到AB=AF，而AB=5，所以AF=|x+4|=5，解得x=1或x=-9，再把x=1和x=-9分別代入y=

1

6

x²+

3

2

計算出對應的函數值，即可確定P點坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=

3

4

x+3=3；
當y=0時，

3

4

x+3=0，解得x=-4，
所以A點坐標為（-4，0），B點坐標為（0，3）；

（2）過點P作PD⊥y軸于D，如圖1，則PD=|x|，BD=|3-y|，
∵⊙P經過點B且與x軸相切于點F
∴PB=PF=y，
在Rt△BDP中，
∴PB²=PD²+BD²，
∴y²=x²+（3-y）²，
∴y=

1

6

x²+

3

2

；

（3）存在．
∵⊙P與x軸相切于點F，且與直線l相切于點B，
∴AB=AF
∵AB²=OA²+OB²=5²，
∴AF=5，
∵AF=|x+4|，
∴|x+4|=5，
∴x=1或x=-9，
當x=1時，y=

1

6

x²+

3

2

=

1

6

+

3

2

=

5

3

；
當x=-9時，y=

1

6

x²+

3

2

=

1

6

×（-9）²+

3

2

=15，
∴點P的坐標為（1，

5

3

）或（-9，15）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質和切線長定理、一次函數的性質；會利用坐標表示線段和運用勾股定理進行幾何計算．