Question

如圖，矩形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=y，把它折疊起來，使頂點A與C重合，則折痕PQ的長度為（　　）

• A、

  y

  x

  x2+y2

• B、

  x

  y

  x2+y2

• C、

  y

  x

  2x2+y2

• D、

  x

  y

  x2+2y2

Answer 1

分析：由翻折可得到QP垂直平分AC，那么AQ=QC，易證△APO≌△CQO，再利用勾股定理求出AP的長，進而利用菱形的面積等于對角線乘積的一半，求出PQ的長即可．

解答：解：∵A，C兩點關于PQ對稱，所以AO=CO，
∵AC⊥QP，從而∠AOP=∠QOC=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠APQ=∠PQC．
∴△APO≌△CQO，
∴CQ=AP，
由PQ⊥AC且平分AC，可知AQ=CQ．
∴四邊形AQCP是菱形，
設AP=a，則AQ=a，DQ=x-a，
在Rt△ADQ中，利用勾股定理可知：a²=y²+（x-a）²，
∴整理得：2ax=x²+y²，
解得a=

x2+y2

2x

，
菱形AQCP的面積為：

1

2

PQ•AC=CQ•AD，
∴

1

2

PQ×

x2+y2

=

x2+y2

2x

×y，
整理得：PQ×

x2+y2

=

x2+y2

x

×y，
解得：PQ=

y

x

x2+y2

．
故選：A．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質和矩形的性質以及菱形的判定與性質等知識，遇到折疊變換問題注意找出翻折的邊得出對應相等，再利用勾股定理求出，這是此類問題常用解題思路．