Question

如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度數(shù)；
（2）作圖：在△BED中作BD邊上的高，垂足為F；
（3）若△ABC的面積為60，BD=6，則△BDE中BD邊上的高為多少？（請(qǐng)寫(xiě)出解題的必要過(guò)程）
（4）過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC，交AC于點(diǎn)G，連接EC、DG且相交于點(diǎn)O，若S_△ABC=m，S_△COD=n，求S_△EOD（用含m、n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)解答即可；
（2）過(guò)E作BC邊的垂線即可；
（3）過(guò)A作BC邊的垂線AG，再根據(jù)三角形中位線定理求解即可；
（4）由平行和三角形的中線的性質(zhì)可得S_△BDE=S_△CDE=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_△ABC，從而求得S_△EOD．

解答：解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；

（2）過(guò)E作BC邊的垂線，F(xiàn)為垂足，則EF為所求；

（3）過(guò)A作BC邊的垂線AG，
∵AD為△ABC的中線，BD=6，
∴BC=2BD=2×6=12，
∵△ABC的面積為60，
∴

1

2

BC•AG=46，即

1

2

×12AG=60，解得AG=10，
∵EF⊥BC于F，
∴EF∥AG，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴EF是△AGD的中位線，
∴EF=

1

2

AG=

1

2

×10=5；

（4）∵EG∥BC，AD為△ABC的中線，
∴S_△BDE=S_△CDE=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_△ABC=

1

4

m，
∴S_△EOD=S_△CDE-S_△COD=

1

4

m-n．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到三角形外角的性質(zhì)、三角形中位線定理及三角形的面積公式，同時(shí)考查了三角形的中線將三角形分成兩個(gè)三角形，它們的面積等于原三角形面積的一半的知識(shí)，涉及面較廣，但難度適中．