Question

【題目】四邊形是正方形，與相交于點，點、是直線上兩動點，且，所在直線與對角線所在直線交于點，連接，直線交于點．

（1）如圖1，當點、在線段上時，

①求證：；

②猜想與的位置關系，并加以證明；

（2）如圖2，在（1）條件下，連接，試說明平分；

（3）當點、運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出的度數．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)圖見解析；45°.

【解析】

試題分析：(1)①根據正方形的性質可證DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°根據SAS可證△ADG≌△CDG，根據全等三角形的性質可證∠DAG=∠DCG；

②根據正方形的性質可證AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根據SAS可證△ABE≌△DCF，根據全等三角形的性質可證∠ABE=∠DCF，根據∠DAG+∠BAG=90°可證∠AHB=∠ABE+∠BAG=90°，所以可證AG⊥BE；

(2) 過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，則四邊形OMHN為矩形，根據矩形的性質可得：∠AON=∠BOM，∠OAN=∠OBM，根據ASA可證△AON≌△BOM，根據全等三角形的性質可證OM=ON，所以可證矩形OMHN為正方形，根據正方形的性質可證HO平分∠BHG；

(3)圖見解析；根據正方形的性質可證AG⊥BE，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，則可證△AON≌△BOM，根據全等三角形的性質可證OMHN為正方形，所以HO平分∠BHG，所以可證∠BHO=45°.

試題解析：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

②AG⊥BE．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，

在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠BAE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（2）由（1）可知AG⊥BE．

如答圖1所示，過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，則四邊形OMHN為矩形．

∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON與△BOM中，

∴△AON≌△BOM（ASA）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN為正方形，

∴HO平分∠BHG；

（3）將圖形補充完整，如答圖2示，∠BHO=45°．

與（1）同理，可以證明AG⊥BE．

過點O作OM⊥BE于點M，ON⊥AG于點N，

與（2）同理，可以證明△AON≌△BOM，

可得OMHN為正方形，

∴HO平分∠BHG，

∴∠BHO=45°．