Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線 AB 分別交 x 軸、y 軸于點A（–a，0）、點 B（0， b），且 a、b 滿足a2+b2–4a–8b+20=0，點 P 在直線 AB 的右側，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．

（2）若點 P 在 x 軸上，請在圖中畫出圖形（BP 為虛線），并寫出點 P 的坐標；

（3）若點 P 不在 x 軸上，是否存在點P，使△ABP 為直角三角形？若存在，請求出此時P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．

【解析】

（1）將已知等式變形，利用乘方的非負性即可求出a值；

（2）根據題意畫出圖形，由（1）得出OB的長，結合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得點B的坐標；

（3）分當∠ABP＝90°時和當∠BAP＝90°時兩種情況進行討論，結合全等三角形的判定和性質即可求出點P坐標.

解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，

∴（ a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，

∴（ a–2）2+（b–4） 2＝0

∴a＝2，b＝4，

故答案為：2，4；

（2）如圖 1，由（1）知，b＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

點 P 在直線 AB 的右側，且在 x 軸上，

∵∠APB＝45°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0），

故答案為：（4，0）；

（3）存在．理由如下：

由（1）知 a＝﹣2，b＝4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

∴OA＝2，OB＝4，

∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，

∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，

Ⅰ、如圖 2，當∠ABP＝90°時，

∵∠APB＝∠BAP＝45°，

∴AB＝PB ，

過點 P 作 PC⊥OB 于 C，

∴∠BPC+∠CBP＝90°，

∵∠CBP+∠ABO＝90 °，

∴∠ABO＝∠BPC，

在△AOB 和△BCP 中，

，

∴△AOB≌△BCP（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝2，

∴P（4，2），Ⅱ、如圖3，當∠BAP＝90°時，

過點 P'作 P'D⊥OA 于 D，

同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，

∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣OA＝2，

∴P'（2，﹣2）；

即：滿足條件的點 P（4，2）或（2，﹣2）；