Question

銳角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）
（1）△ABC中邊BC上高AD=

 

；
（2）當x=

 

時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；
（3）當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關于x的函數關系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本題利用矩形的性質和相似三角形的性質，根據MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長度．
（2）因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比，得出等量關系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達式．

解答：解：（1）由BC=6，S_△ABC=12，得AD=4；

（2）當PQ恰好落在邊BC上時，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AG

AD

，
即

x

6

=

4-x

4

，x=2.4（或

12

5

）；

（3）設BC分別交MP，NQ于E，F，則四邊形MEFN為矩形．
設ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4-h．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AG

AD

，即

x

6

=

4-h

4

，
∴h=-

2

3

x+4．
∴y=MN•NF=x（-

2

3

x+4）=-

2

3

x²+4x（2.4＜x＜6），
配方得：y=-

2

3

（x-3）²+6．
∴當x=3時，y有最大值，最大值是6．

點評：本題結合相似三角形的性質及矩形面積計算方法，考查二次函數的綜合應用，解題時，要始終抓住相似三角形對應邊上高的比等于相似比，表示相關邊的長度．