Question

【題目】閱讀理解：如圖①，如果四邊形ABCD滿足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我們把這樣的四邊形叫做“完美箏形”．
將一張如圖①所示的“完美箏形”紙片ABCD先折疊成如圖②所示形狀，再展開得到圖③，其中CE，CF為折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，點B′為點B的對應點，點D′為點D的對應點，連接EB′，FD′相交于點O．

（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是
（2）當圖③中的∠BCD=120°時，∠AEB′=
（3）當圖②中的四邊形AECF為菱形時，對應圖③中的“完美箏形”有　 個（包含四邊形ABCD）．
（4）拓展提升：當圖③中的∠BCD=90°時，連接AB′，請探求∠AB′E的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）正方形
（2）80°
（3）5
（4）

當圖③中的∠BCD=90°時，如圖所示：

四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∵∠EB′F=90°，

∴∠A+∠EB′F=180°，

∴A、E、B′、F四點共圓，

∵AE=AF，

∴∠AB′E=∠AB′F=∠EB′F=45°．

【解析】（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴平行四邊形不一定為“完美箏形”；
②∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∴AB≠AD，BC≠CD，
∴矩形不一定為“完美箏形”；
③∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，
∴菱形不一定為“完美箏形”；
④∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴正方形一定為“完美箏形”；
∴在平行四邊形、矩形、菱形、正方形四種圖形中，一定為“完美箏形”的是正方形；
所以答案是：正方形；
（2）根據題意得：∠B′=∠B=90°，
∴在四邊形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，
∵∠AEB′+∠BEB′=180°，
∴∠AEB′=∠BCB′，
∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，
∴∠BCE=∠ECF=40°，
∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；
所以答案是：80；
（3）當圖②中的四邊形AECF為菱形時，對應圖③中的“完美箏形”有5個；理由如下；
根據題意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，
∴四邊形EBCB′、四邊形FDCD′是“完美箏形”；
∵四邊形ABCD是“完美箏形”，
∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，
∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，
∴∠OD′E=∠OB′F=90°，
∵四邊形AECF為菱形，
∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，
∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°
在△OED′和△OFB′中，

∴△OED′≌△OFB′（AAS），
∴OD′=OB′，OE=OF，
∴四邊形CD′OB′、四邊形AEOF是“完美箏形”；
∴包含四邊形ABCD，對應圖③中的“完美箏形”有5個；
所以答案是：5
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．