Question

【題目】如圖，在長方形ABCD中，AB＝6厘米，AD＝8厘米．延長BC到點E，使CE＝3厘米，連接DE．動點P從B點出發，以2厘米/秒的速度向終點C勻速運動，連接DP．設運動時間為t秒，解答下列問題：

(1)當t為何值時，△PCD為等腰直角三角形？

(2)設△PCD的面積為S(平方厘米)，試確定S與t的關系式；

(3)當t為何值時，△PCD的面積為長方形ABCD面積的？

(4)若動點P從點B出發，以2厘米/秒的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，是否存在某一時刻t，使△ABP和△DCE全等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)t＝1秒；(2)S＝﹣6t+24(0≤t≤4)；(3)t＝2秒；(4)t＝秒或秒時，△ABP和△DCE全等．

【解析】

（1）用含t的式子表示PC，再根據△CDP是等腰直角三角形得到CP＝CD＝6，解出t即可；（2）利用S△PCD＝CP×CD即可求解；（3）根據面積的關系即可列式求解；（4）根據對應點不同分兩種情況討論即可求解.

(1)在長方形ABCD中，AB＝6厘米，AD＝8厘米，

∴BC＝AD＝8cm，CD＝AB＝6cm，∠DCB＝∠DCE＝90°，

由運動知，BP＝2t，

∴PC＝BC﹣BP＝8﹣2t，

∴△CDP是等腰直角三角形，

∴CP＝CD＝6，

∴8﹣2t＝6，

∴t＝1秒，

(2)由(1)知，PC＝8﹣2t，

∴S＝S△PCD＝CP×CD＝(8﹣2t)×6＝﹣6t+24(0≤t≤4)；

(3)∵AB＝6，AD＝8，

∴S長方形ABCD＝6×8＝48cm2，

由(2)知，S＝﹣6t+24(0≤t≤4)，

∵△PCD的面積為長方形ABCD面積的，

∴﹣6t+24＝×48，

∴t＝2秒，

(4)在△ABP中，AB＝6cm，在△CDE中，CD＝6cm，

∴AB＝CD，

∵△ABP和△DCE全等，

∴△ABP≌△DCE或△ABP≌△CDE，

當△ABP≌△DCE時，BP＝CE＝3，

∴2t＝3，

∴t＝，

當△ABP≌△CDE時，AP＝CE＝3，

∴8+6+8﹣2t＝3，

∴t＝，

即：t＝秒或秒時，△ABP和△DCE全等．