Question

【題目】如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．
（1）求證：AE=BD；
（2）求證：MN∥AB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，

∵∠DCA=∠ECB=60°，

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，

在△ACE與△DCB中，

∵ ，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=BD；

（2）證明：∵由（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三點共線，

∴∠DCN=60°，

在△ACM與△DCN中，

∵ ，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴MC=NC，

∵∠MCN=60°，

∴△MCN為等邊三角形，

∴∠NMC=∠DCN=60°，

∴∠NMC=∠DCA，

∴MN∥AB．

【解析】（1））先由△ACD和△BCE是等邊三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根據SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性質即可得出結論；（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM=∠CDN，再根據∠ACD=∠ECB=60°，A、C、B三點共線可得出∠DCN=60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC=NC，再根據∠MCN=60°可知△MCN為等邊三角形，故∠NMC=∠DCN=60°故可得出結論．