Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（2，2），點C是線段OA上的一個動點（不運動至O，A兩點），過點C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF，連接AF并延長交x軸的正半軸于點B，連接OF，設OD=t．
（1）tan∠AOB=______，tan∠FOB=______；
（2）用含t的代數式表示OB的長；
（3）當t為何值時，△BEF與△OFE相似？

Answer 1

解：（1）1，；

（2）過點A作AM⊥x軸于M，則OM=AM=2；
∵OD=t，
∴OE=2t，ME=2t-2，EF=t；
由于EF∥AM，則有△BEF∽△BMA，得：
，即，
解得：BE=，
故OB=OE+BE=2t+=．

（3）本題分兩種情況：
①∠FOE=∠FBE，則有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=，
解得t=；
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=
∴OB=OE+BE=2t+t=t．
∴OB==t，
解得t=
綜上所述，當t=或時，△BEF與△OFE相似．
分析：（1）根據A點坐標，易求得tan∠AOB=1，則∠AOB=45°，△COD是等腰直角三角形，即CD=OD=DE，因此tan∠FOB=．
（2）過A作AM⊥x軸于M，則AM=OM=2，可用t分別表示出OE、ME、EF的長，通過證△BEF∽△BMA，根據所得比例線段即可求出BE的表達式，進而可得到OB的表達式．
（3）要分兩種情況進行討論：
①∠FOE=∠FBE，此時△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根據（2）的結果即可得出t的值；②∠OFE=∠FBE，此時EF²=OE•BE，據此可表示出BE的長，而后仿照①的解法求出t的值．
點評：此題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的判定和性質；要注意的是（3）題中，一定要根據相似三角形的不同對應邊分類討論，同時還要注意t的取值范圍，以免造成漏解或多解．