Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．

（2）如圖1，求AF的長．

（3）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，點P的速度為每秒1cm，設運動時間為t秒．

①問在運動的過程中，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運動時間t和點Q的速度；若不可能，請說明理由．

②若點Q的速度為每秒0.8cm，當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF＝5cm；（3）①有可能是矩形，P點運動的時間是8，Q的速度是0.5cm/s；②t＝．

【解析】

（1）證△AEO≌△CFO，推出OE=OF，根據平行四邊形和菱形的判定推出即可；
（2）設AF=CF=a，根據勾股定理得出關于a的方程，求出即可；
（3）①只有當P運動到B點，Q運動到D點時，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，求出時間t，即可求出答案；②分為三種情況，P在AF上，P在BF上，P在AB上，根據平行四邊形的性質求出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO，

∵AC的垂直平分線EF，

∴AO＝OC，AC⊥EF，

在△AEO和△CFO中

∵ ，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴OE＝OF，

∵OA＝OC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）解：設AF＝acm，

∵四邊形AECF是菱形，

∴AF＝CF＝acm，

∵BC＝8cm，

∴BF＝（8﹣a）cm，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，

a＝5，

即AF＝5cm；

（3）解：①在運動過程中，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，

只有當P運動到B點，Q運動到D點時，以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形，

P點運動的時間是：（5+3）÷1＝8，

Q的速度是：4÷8＝0.5，

即Q的速度是0.5cm/s；

②分為三種情況：第一、P在AF上，

∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能再CD上，此時當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形不是平行四邊形；

第二、當P在BF上時，Q在CD或DE上，只有當Q在DE上時，當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形才有可能是平行四邊形，如圖，

∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），

∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），

t＝，

第三情況：當P在AB上時，Q在DE或CE上，此時當A、P、C、Q四點為頂點的四邊形不是平行四邊形；

即t＝．