Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E為AD上一點，FG⊥CE分別交AB、CD于F、G，垂足為O．

（1）求證：CE=FG；

（2）如圖2，連接OB，若AD=3DE，∠OBC=2∠DCE。

求的值；

若AD=3，則OE的長為_________（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】

【解析】（1）過點B作BM∥FG交CD于M ,構造三角形，證△BCM≌△CDE，可得; CE=BM=FG;(2) 過點B作BM∥FG交CD于M , 連接MO，由（1）證BC=BO，再證MC=MO=MG=ED，又AD＝3DE，所以；（3）由(1)(2)可得DE=OM=1,BO=AD=3,

又BM=CE=，再根據面積公式得OC=2×.

（1）過點B作BM∥FG交CD于M ,

易證四邊形FBMG為平行四邊形

∴FG=BM，

由BC=CD;∠BCM=∠CDE;∠MBC=∠ECD

可證△BCM≌△CDE，

∴CE=BM=FG；

（2）過點B作BM∥FG交CD于M ,

由（1）知△BCM≌△CDE，又∠OBC＝2∠DCE ,

MC=ED，∠MBC＝∠DCE＝∠MBO，

由BM∥FG得MB⊥CE，

∴∠BOC＝∠BCO，

∴BC=BO，連接MO，

∴BM垂直平分OC，

∴MC=MO，

又∵∠GOM=∠BMO=∠BMC=∠OGM

∴MC=MO=MG=ED，

又AD＝3DE，

∴；

（3）∵AD=3，

∴由(1)(2)可得

DE=OM=1,BO=AD=3,∴BM=CE= ,

OC=2× =2×= ,

∴OE=CE-CO＝.