Question

如圖14所示，在直角坐標系中，O是坐標原點，點A在y軸正半軸上，二次函數y=ax²+[x/6]+c的圖象F交x軸于B、C兩點，交y軸于M點，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。

[1]求二次函數的解析式；

[2]證明：在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；

[3]在[2]的條件下，設直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點，AC、BD相交于N。

①若直線l⊥BD，如圖14所示，試求[1/BP]+[1/BQ]的值；

②若l為滿足條件的任意直線。如圖15所示，①中的結論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例。

 

Answer 1

解：[1]∵二次函數y=ax2+1 6 x+c的圖象經過點B[-3，0]，M[0，-1]，

∴，

解得a=1/6 ，c=-1。

∴二次函數的解析式為：y= [x²/6]+[x/6]-1。

[2]由二次函數的解析式為：y=[x²/6]+[x/6]-1，

令y=0，得[x²/6]+[x/6]-1=0，

解得x1=-3，x2=2，∴C[2，0），∴BC=5；

令x=0，得y=-1，∴M[0，-1]，OM=1。

又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A[0，4]。

設AD∥x軸，交拋物線于點D，如圖1所示，

則yD=[x²/6]+[x/6]-1=OA=4，

解得x1=5，x2=-6[位于第二象限，舍去]

∴D點坐標為[5，4]。

∴AD=BC=5，

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形。

即在拋物線F上存在點D，使A、B、C、D四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形。

設直線BD解析式為：y=kx+b，∵B[-3，0]，D[5，4]，

∴，

解得：k=1/2 ，b=3/2，

∴直線BD解析式為：y=[x/2]+[3/2]。

[3]在Rt△AOB中，AB==5，又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。

①若直線l⊥BD，如圖14所示.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC∥直線l，

∴BA/BP=BC/BQ=BN/BD=1/2，

∵BA=BC=5，

∴BP=BQ=10，

∴1/BP+1/BQ=[1/10]+[1/10]=1/5；

②若l為滿足條件的任意直線，如圖15所示，此時①中的結論依然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，

∴△PAD∽△DCQ，

∴AP/CD=AD/CQ，

∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。

∴[1/BP]+[1/BQ]=（1/[AB+AP]）+（1/[BC+CQ]）

=（1/[5+AP]）+（1/[5+CQ]）

=（[5+AP]+[5+CQ]）/（[5+AP][5+CQ]）

=10+AP+CQ 25+5(AP+CQ)+AP•CQ

=[10+AP+CQ]/（50+5[AP+CQ]）

=1/5。