Question

【題目】如圖1，已知點E在正方形ABCD的邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．

①AE=EF是否總成立？請給出證明；

②在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）解：如圖1，取AB的中點G，連接EG，

△AGE與△ECF全等；

（2）①若點E在線段BC上滑動時，AE=EF總成立．

證明：如圖2，在AB上截取AH=EC，連接EH，

∵AB=BC，

∴BH=BE，

∴△HBE是等腰直角三角形，

∴∠AHE=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AHE=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AHE≌△ECF，

∴AE=EF；

②答：存在，如圖3，

過D作DM⊥AE交AB于點M，

則有：DM∥EF，連接ME、DF，

∵在△ADM與△BAE中，，

∴△ADM≌△BAE（AAS），

∴MD=AE，

∵AE=EF，

∴MD=EF，

∵MD∥EF，

∴四邊形DMEP為平行四邊形．